AI破解56年数学难题登Science，还是DeepMind讲究，成果交给同行评审

AI数学研究领域近期颇为热闹。

OpenAI此前一次性公布722份数学证明，引发数学界集体反感，而谷歌DeepMind的数学成果随后登上了《Science》。

前者大量抛出待验证的手稿，将校对压力转移给数学家；后者则耐心等待数月，正式通过同行评审，接受了数学界的检验。

卡内基梅隆大学与南卡罗来纳大学的两位数学家，在同期《Science》上发表了评论文章：《用于数学研究的AI已经到来》。

OpenAI还在为数学证明的发布方式争论不休时，DeepMind已获得数学家的公开认可。

DeepMind此次的主角是AlphaProof Nexus，这是一套由Gemini驱动的AI数学证明Agent框架。

它解决了9道埃尔德什开放问题，其中两道已悬而未决56年。

除这9道外，它还证明了OEIS整数序列百科中的44个猜想，解决了一道搁置15年的代数几何难题，并改进了凸优化领域一个沿用已久的理论边界。

DeepMind也是《Science》的常客。这篇数学论文共有20位作者，其中Aja Huang曾是AlphaGo的核心研究员。

攻克56年悬赏难题

DeepMind从已有Lean形式化版本的问题中挑选了353道，交由AlphaProof Nexus尝试，最终成功解决了9道。

其中Erdős #12于1970年提出，至今已悬而未决56年。

该问题询问：能否找出一个无限大的整数集合，使集合中的数字满足严格的整除限制，同时保持足够大的规模？

具体而言，任意选取其中三个满足条件的整数，较小的那个不能整除另外两个较大整数的和，且集合不能太稀疏。

自1970年起，无人能给出该集合的完整构造，虽有局部进展，但始终无法形成整体解。

此次AlphaProof Nexus的解法是分块构造。

它将待构造的无限集合拆分成多个整数区块；然后利用中国剩余定理，结合避免三项等差数列的集合性质，使各区块满足局部整除条件；最后将所有区块拼回一个完整的无限集。

此外，Erdős #125于1996年提出，30年未有定论。

设想两个数字集合：第一个集合包含所有在三进制下仅由数字0和1组成的整数；第二个集合包含所有在四进制下仅由数字0和1组成的整数。

将这两个集合中的所有数字两两相加，得到一个新集合。

问题在于：这个新集合中的数字在自然数中出现的频率（数学上称为下密度）是否为正？

直觉上，两种集合包含的数字本就不多，相加后应较为稀疏。但稀疏到何种程度？是密度归零，还是保持正密度？

这其中的差别非常微妙，自1996年提出后一直未有定论。

AlphaProof Nexus给出的答案是：下密度为零。

证明的关键在于log₄/log₃是无理数。

这意味着3的幂和4的幂可在适当尺度下任意接近。利用这一点，AI构造了一个归纳性稀疏化论证：不断找到两个几乎对齐的尺度，使集合密度逐步衰减，直至归零。

最终证明该集合的下密度确实为零。

Erdős #846于1992年提出，困扰人类34年。

这是一个关于平面点集的问题：能否构造一个无限大的平面点集，使其具有一种奇特性质——从中任意取出有限个点，都能找到一个规模足够大的子集，使其中没有三点共线。

但如果试图将整个无限点集拆分成有限个完全没有三点共线的集合，却无法实现。

简单理解，即局部看似规整，整体却难以拆分。

AlphaProof Nexus给出的证明采用了一种巧妙的数学构造。

它将无限完全图的边映射成平面上的点，用多项式表达式编码坐标，再结合无穷组合数学中的相关结论，完成证明。

一个平面几何问题，最终被转化为图论与组合数学问题来解决。

除这三道外，还有六道涉及整除集构造、范德瓦尔登数间隙、西顿集孤立点、集合拆分密度等领域。

完成埃尔德什问题后，它又前往OEIS整数序列百科证明了44个开放猜想。

连代数几何和凸优化也未遗漏。它在代数几何领域解决了一道关于希尔伯特函数对数凹性的15年悬案，在凸优化领域改进了一个锚定梯度下降法的理论边界。

Gemini写证明，Lean判卷

AlphaProof Nexus的核心工作方式为：Gemini 3.1 Pro写证明 → Lean检查 → 报错反馈给Gemini → 修改证明 → 再检查，直至证明全部通过。

围绕这套流程，DeepMind设计了四种Agent配置。

最简单的Agent A，由多个独立子Agent同时尝试证明。每个子Agent通过Gemini生成Lean代码，再根据编译器反馈不断修改。全程无额外辅助工具，仅靠写代码加查错循环。

Agent B增加了AlphaProof。这是DeepMind此前开发的专门数学证明系统。遇到难以解决的子问题时，Agent可调用AlphaProof进行针对性搜索。

Agent C引入进化搜索。多个Agent将不同证明草稿放入共享数据库，再由基于Gemini 3.0 Flash的评分Agent比较草稿的合理性、清晰度和新颖性。系统将比较结果汇总成Elo评分，据此挑选值得继续探索的证明路线。

Agent D则是完整版，整合了AlphaProof和进化搜索，是此次批量探索开放问题时使用的主要配置。

按理说功能越多，应越强大。但DeepMind后续的对照实验发现，最简单的Agent A也能解出全部9道埃尔德什问题。没有进化算法，没有AlphaProof，仅凭LLM循环加编译器反馈的Agent A，只是在难题上成本更高。

在#125和#138等困难问题上，完整版Agent的成本效率比基础版本高出约2至5倍。

综合计算，此次AlphaProof Nexus解一道题的成本大约在几百美元。

整套Lean证明代码已公开，外界可直接查看。

埃尔德什生前曾为许多数学难题设立现金悬赏，鼓励世界各地的数学家挑战。如今，除数学家的智慧外，算力也开始成为解开这些悬赏难题的关键。本文来自微信公众号“量子位”，作者：关注前沿科技，36氪经授权发布。其中，通过贝博官方入口可获取更多前沿科技资讯。